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== für ein ladungsfreies Teilchen ==

\left[ \mathrm i \sum_{\mu=0}^3 \gamma^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} - m \right]\, \psi(x)  
= 0\,

oder auch  \left[p\!\!\!/\ - m\right] \psi(x)  
= 0\,

Dirac Darstellung (Antiteilchen) Bearbeiten

Matrizen Bearbeiten

 
\alpha_i = \begin{pmatrix} 
 0 & \sigma_i\\
\sigma_i& 0
  \end{pmatrix}
\ \ \ \ 
\beta = \begin{pmatrix} 
 1\!\!\,\text{I} & 0\\
0 & -1\!\!\,\text{I}
  \end{pmatrix}


\gamma^0=\beta \ \ \ \ \gamma^i=\gamma^0\alpha^i=
\begin{pmatrix}
0 & \sigma^i\\
-\sigma^i & 0
\end{pmatrix} \ \ \ \ \ 
\gamma^5= i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3=
\begin{pmatrix}
 0 & 1\!\!\,\text{I}\\
1\!\!\,\text{I} & 0  
\end{pmatrix}

Lösungen Bearbeiten


u^{(1)}=N
\begin{pmatrix}
1 \\
0\\
\tfrac{p_z}{E+m}\\
\tfrac{p_x + i p_y}{E+m}
\end{pmatrix}
\ \ \ 
u^{(2)}=N
\begin{pmatrix}
0 \\
1\\
\tfrac{p_x - i p_y}{E+m}\\
\tfrac{-p_z}{E+m}
\end{pmatrix}
\ \ \ 
u^{(3)}=N
\begin{pmatrix}
\tfrac{-p_z}{E+m}\\
-\tfrac{p_x + i p_y}{E+m}\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}
\ \ \ 
u^{(4)}=N
\begin{pmatrix}
\tfrac{i p_y -p_x}{E+m}\\
\tfrac{p_z}{E+m}\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}

Weyl Darstellung (Händigkeit) Bearbeiten

Matrizen Bearbeiten

 
\alpha_i = \begin{pmatrix} 
  -\sigma_i &0\\
0& \sigma_i
  \end{pmatrix} 
\ \ \ \ 
\beta = \begin{pmatrix} 
0 &  1\!\!\,\text{I}\\
 1\!\!\,\text{I} & 0
  \end{pmatrix}



\gamma^0=\beta \ \ \ \ \gamma^i=\gamma^0\alpha^i=
\begin{pmatrix}
0 & \sigma^i \\
-\sigma^i & 0
\end{pmatrix} \ \ \ \ \ 
\gamma^5= i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3=
\begin{pmatrix}
-1\!\!\,\text{I} & 0\\
0 & 1\!\!\,\text{I} 
\end{pmatrix}

Lösungen Bearbeiten


w^{(1)}
=\begin{pmatrix}
1+\gamma p_z\\
\gamma (p_x+ I p_y)\\
1-\gamma p_z\\
-\gamma (p_x+I p_y)\\
\end{pmatrix}
\ \ \ \ 
w^{(2)}
=\begin{pmatrix}
\gamma(p_x-i p_y) \\
1-\gamma p_z\\
\gamma (i p_y-p_x)\\
1+ \gamma p_z\\
\end{pmatrix}


w^{(3)}
=\begin{pmatrix}
1-\gamma p_z\\
-\gamma(p_x+i p_y)\\
-1-\gamma p_z\\
-\gamma(p_x+ip_y)\\
\end{pmatrix}
\ \ \ \ 
w^{(4)}
=\begin{pmatrix}
\gamma(i p_y-p_x)\\
1+\gamma p_z\\
\gamma(i p_y-p_x)\\
\gamma p_z -1\\
\end{pmatrix}

Mit \gamma=\frac{1}{E+m}

Darstellungswechsel Dirac Weyl Bearbeiten

Wikipedia schlägt eine ander Matrix vor. Meine rechnung ist vermutlich falsch.

Mithilfe der Matrix

 A= \tfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 
    1 & 0 & 1 & 0 \\ 
    0 & 1 & 0 & 1 \\ 
    1 & 0 & -1 & 0 \\ 
    0 & 1 & 0 & -1 \\ 
  \end{pmatrix} 
lässt sich durch links und rechts seitigen multiplizieren ein wechsel von der Dirac in die Weyl Darstellung erreichen.

Es gilt: A=A^T \ \ A=A^{-1} \ \ \det{A}= 1

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