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== für ein ladungsfreies Teilchen ==
$ \left[ \mathrm i \sum_{\mu=0}^3 \gamma^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} - m \right]\, \psi(x) = 0\, $

oder auch $ \left[p\!\!\!/\ - m\right] \psi(x) = 0\, $

Dirac Darstellung (Antiteilchen) Bearbeiten

Matrizen Bearbeiten

$ \alpha_i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_i\\ \sigma_i& 0 \end{pmatrix} \ \ \ \ \beta = \begin{pmatrix} 1\!\!\,\text{I} & 0\\ 0 & -1\!\!\,\text{I} \end{pmatrix} $

$ \gamma^0=\beta \ \ \ \ \gamma^i=\gamma^0\alpha^i= \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i\\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \gamma^5= i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3= \begin{pmatrix} 0 & 1\!\!\,\text{I}\\ 1\!\!\,\text{I} & 0 \end{pmatrix} $

Lösungen Bearbeiten

$ u^{(1)}=N \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ \tfrac{p_z}{E+m}\\ \tfrac{p_x + i p_y}{E+m} \end{pmatrix} \ \ \ u^{(2)}=N \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ \tfrac{p_x - i p_y}{E+m}\\ \tfrac{-p_z}{E+m} \end{pmatrix} \ \ \ u^{(3)}=N \begin{pmatrix} \tfrac{-p_z}{E+m}\\ -\tfrac{p_x + i p_y}{E+m}\\ 1\\ 0\\ \end{pmatrix} \ \ \ u^{(4)}=N \begin{pmatrix} \tfrac{i p_y -p_x}{E+m}\\ \tfrac{p_z}{E+m}\\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix} $

Weyl Darstellung (Händigkeit) Bearbeiten

Matrizen Bearbeiten

$ \alpha_i = \begin{pmatrix} -\sigma_i &0\\ 0& \sigma_i \end{pmatrix} \ \ \ \ \beta = \begin{pmatrix} 0 & 1\!\!\,\text{I}\\ 1\!\!\,\text{I} & 0 \end{pmatrix} $


$ \gamma^0=\beta \ \ \ \ \gamma^i=\gamma^0\alpha^i= \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \gamma^5= i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3= \begin{pmatrix} -1\!\!\,\text{I} & 0\\ 0 & 1\!\!\,\text{I} \end{pmatrix} $

Lösungen Bearbeiten

$ w^{(1)} =\begin{pmatrix} 1+\gamma p_z\\ \gamma (p_x+ I p_y)\\ 1-\gamma p_z\\ -\gamma (p_x+I p_y)\\ \end{pmatrix} \ \ \ \ w^{(2)} =\begin{pmatrix} \gamma(p_x-i p_y) \\ 1-\gamma p_z\\ \gamma (i p_y-p_x)\\ 1+ \gamma p_z\\ \end{pmatrix} $

$ w^{(3)} =\begin{pmatrix} 1-\gamma p_z\\ -\gamma(p_x+i p_y)\\ -1-\gamma p_z\\ -\gamma(p_x+ip_y)\\ \end{pmatrix} \ \ \ \ w^{(4)} =\begin{pmatrix} \gamma(i p_y-p_x)\\ 1+\gamma p_z\\ \gamma(i p_y-p_x)\\ \gamma p_z -1\\ \end{pmatrix} $

Mit $ \gamma=\frac{1}{E+m} $

Darstellungswechsel Dirac Weyl Bearbeiten

Wikipedia schlägt eine ander Matrix vor. Meine rechnung ist vermutlich falsch.

Mithilfe der Matrix

$ A= \tfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix} $ lässt sich durch links und rechts seitigen multiplizieren ein wechsel von der Dirac in die Weyl Darstellung erreichen.

Es gilt: $ A=A^T \ \ A=A^{-1} \ \ \det{A}= 1 $